Фотографія#497

Автор: Андрій Холод

Роздробник: Павло Цікалишин

Розбір підготовано: Костянтин Денисов

Фотографія має розмір $n \times n$ . Рамка товщини $t$ додає смугу шириною $t$ з кожного боку, тому зовнішній розмір усієї конструкції дорівнює $(n + 2 t) \times (n + 2 t)$ (n+2t) \times (n+2t). Площа рамки дорівнює різниці площ зовнішнього квадрата та фотографії.

Площа фотографії: $S_{in} = n^{2}$ S_{\text{in}} = n^2.

Площа зовнішнього квадрата: $S_{out} = (n + 2 t)^{2}$ S_{\text{out}} = (n+2t)^2.

Отже, площа рамки: $S = S_{out} - S_{in} = (n + 2 t)^{2} - n^{2}$ S = S_{\text{out}} - S_{\text{in}} = (n+2t)^2 - n^2.

Спростимо вираз: $(n + 2 t)^{2} - n^{2} = n^{2} + 4 n t + 4 t^{2} - n^{2} = 4 t (n + t)$ (n+2t)^2 - n^2 = n^2 + 4nt + 4t^2 - n^2 = 4t(n+t).

Тому відповідь: $S = 4 t (n + t)$ S = 4t(n+t).

Складність. Час: $O (1)$ , пам'ять: $O (1)$ .

Зауваження. За $n \leq 1 0^{9}$ n \le 10^9 значення площ може бути порядку $1 0^{18}$ 10^{18}, тому слід використовувати 64-бітний цілий тип (наприклад, long long).